By Hermann Noordung

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Dieser Anteil, die sogenannte Dichte der Primzahlen, ist definiert durch die Formel Anzahl der Primzahlen kleiner als n . Anzahl al ler ganzen Zahlen kleiner als n Warum sind Primzahlen die Atome der Mathematik? | 33 Aufgrund seiner akribischen Auszählungen stellte Gauß Spekulationen über eine mögliche Formel an, mit der man die Dichte theoretisch abschätzen, also näherungsweise berechnen könnte. ganze Zahl (n ) Anzahl der Primzahlen kleiner als n tatsächliche Dichte Abschätzung der Dichte 10 100 1000 10 000 100 000 1 000 000 10 000 000 100 000 000 1000 000 000 4 25 168 1229 9 592 78 498 664 579 5 761 455 50 847 534 40,0% 25,0% 16,8% 12,3% 9,6% 7,8% 6,6% 5,8% 5,1% 43,4% 21,7% 14,5% 10,9% 8,7% 7,3% 6,2% 5,4% 4,8% Die tatsächliche und die abgeschätzte Dichte der Primzahlen Die Formel, die Gauß schließlich unter Verwendung des Logarithmus von n aufstellte, war durch experimentelle Belege gestützt, doch ein mathematischer Beweis war zu Beginn des 19.

Es ist klar, dass wir die Elemente der beiden Mengen G und N nicht einfach zählen und die Ergebnisse vergleichen können – denn beides sind ja unendliche Mengen! Hier erweist sich der Begriff der eineindeutigen Zuordnung als hilfreich. Damit wird in diesem Fall ausgedrückt, dass sich jeder ganzen Zahl eine gerade Zahl zuordnen lässt und umgekehrt. Wie funktioniert das? Jede ganze Zahl 58 | Wie groß ist die Unendlichkeit? wird ihrem Doppelten zugeordnet, so dass die Zahl 1 aus der Menge N der Zahl 2 aus der Menge G entspricht, die Zahl 2 aus N der Zahl 4 aus G usw.

Damit hätten wir das Hintertürchen, eine unendliche Menge als eine Menge zu definieren, die nicht endlich ist. Beziehungen zwischen Mengen Die Menge N hat eine verblüffende Eigenschaft. Auf den ersten Blick wäre es naiv zu fragen, ob es genauso viele gerade Zahlen gibt wie positive ganze Zahlen. Die geraden Zahlen sind die Teilmenge G = {2, 4, 6, 8, 10, 12, …}, und intuitiv würden wir zunächst „nein“ sagen, da sie eben nur ein Teil der ganzen Zahlen sind. Doch was meinen wir eigentlich mit „genauso viele“?

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Das Problem der Befahrung des Weltraums - Der Raketen-Motor by Hermann Noordung


by Paul
4.4

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