By I. P. Natanson

ISBN-10: 0804446970

ISBN-13: 9780804446976

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Example text

J = (a, b]. Die Menge aller linksseitig bzw. rechtsseitig abgeschlossenen Intervalle in Rn bezeichnen wir mit J (n) bzw. Jr (n). Außerdem sei ¯ J(n) die Menge aller ( beidseitig“) abgeschlossenen be” schr¨ ankten Intervalle in Rn . Der folgende Satz zeigt, daß wir in der Deﬁnition des Lebesgueschen a¨ußeren Maßes statt der oﬀenen auch die linksseitig oder rechtsseitig oder beidseitig abgeschlossenen Intervalle h¨ atten verwenden k¨onnen. Es seien A ⊂ Rn und J ∈ J (n), Jr (n), ¯J(n) . 4 Satz ∞ λ∗n (A) = inf j=0 ∞ voln (Jj ) ; Jj ∈ J, j ∈ N, j=0 Jj ⊃ A .

Iii) Die zweite Aussage ist klar. 4 besagt insbesondere, daß wir das Maß einer Lebesgue meßbaren Teilmenge des Rn beliebig genau durch die Maße geeigneter oﬀener Obermengen approximieren k¨ onnen. Der folgende Satz zeigt, daß wir das Lebesguesche Maß einer oﬀenen Menge dadurch beliebig genau ann¨ahern k¨onnen, daß wir sie durch endliche Vereinigungen disjunkter Intervalle der Form [a, b) approximieren und die Summe der Volumina dieser Intervalle berechnen. Dies ist die in der Einleitung zu diesem Kapitel beschriebene Methode zur Berechnung von Inhalten.

Die Meßbarkeit ist eine lokale Eigenschaft. Die Implikation = ⇒“ ist klar. ” ⇐ =“ Nach Voraussetzung gibt es zu jedem x ∈ A eine oﬀene Umgebung Ux von x ” mit A ∩ Ux ∈ L(n). Insbesondere gilt A ⊂ x∈A Ux . 8 ein Lindel¨ ofscher Raum ist, gibt es eine abz¨ ahlbare Menge { xj ∈ A ; j ∈ N } ort A = j (A ∩ Uxj ) zu L(n). mit A ⊂ j Uxj . Also geh¨ Beweis Die Translationsinvarianz des Lebesgueschen Maßes Wir wenden uns nun der Aufgabe zu nachzuweisen, daß das Lebesguesche Maß einer Menge unabh¨ angig von deren Lage im Raum ist.