By Winfried Kaballo

ISBN-10: 3642377939

ISBN-13: 9783642377938

ISBN-10: 3642377947

ISBN-13: 9783642377945

In diesem Buch finden Sie eine Einführung in die Funktionalanalysis und Operatortheorie auf dem Niveau eines Master-Studiengangs.

Ausgehend von Fragen zu partiellen Differenzialgleichungen und Integralgleichungen untersuchen Sie lineare Gleichungen im Hinblick auf Existenz und Struktur von Lösungen sowie deren Abhängigkeit von Parametern. Dazu lernen Sie verschiedene Konzepte und Methoden kennen: Distributionen, Fourier-Transformation, Sobolev-Räume, Dualitätstheorie im Rahmen lokalkonvexer Räume, topologische Tensorprodukte, exakte Sequenzen, Banachalgebren, Fredholmoperatoren, Funktionalkalküle sowie selbstadjungierte Operatoren und ihre Rolle in der Quantenmechanik.

Das Buch ist ausführlich und leicht verständlich geschrieben, die Konzepte und Resultate werden durch Abbildungen und viele Beispiele illustriert. Anhand zahlreicher Übungsaufgaben (mit Lösungen auf der site zum Buch) können Sie Ihr Verständnis des Stoffes testen, anhand anderer diesen selbstständig weiterentwickeln.

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Eine erste Auf” weichung“ dieses Begriffs erfolgt in der Maß- und Integrationstheorie: Funktionen“ ” ¨ sind oft als Aquivalenzklassen modulo Nullfunktionen zu interpretieren. 2 Schwache Ableitungen und Distributionen 37 b) Lokal integrierbare Funktionen f ∈ Lloc 1 (Ω) ordnen aber auch jeder Testfunktion ϕ ∈ D (Ω) den Wert uf (ϕ) := Ω f (x) ϕ(x) dx ∈ C (20) zu. 8 durch uf eindeutig festgelegt. Als verallgemeinerte Funktionen oder Distributionen auf Ω betrachtet man nun alle Linearformen auf D (Ω) , die im Sinne der folgenden Definition stetig sind: c) Es sei Ω ⊆ Rn offen.

Durch Differentiation folgt sofort auch cos kx → 0 in D (R) und weiter km sin kx → 0 in D (R) f¨ ur ungerade m ∈ N , tats¨ achlich sogar f¨ ur alle m ∈ N . 40 2 Distributionen Multiplikation von C ∞ -Funktionen und Distributionen. und u ∈ D (Ω) erkl¨ art man das Produkt au ∈ D (Ω) durch a) F¨ ur a ∈ C ∞ (Ω) (au)(ϕ) := u(aϕ) f¨ ur ϕ ∈ D (Ω) . (25) b) Aus ϕk → 0 in D (Ω) folgt aufgrund der Leibniz-Regel auch aϕk → 0 in D (Ω) (vgl. Formel (27) unten) und somit u(aϕk ) → 0 in C ; in (25) wird also in der Tat eine Distribution definiert.

Wir f¨ uhren zun¨ achst die Faltung von Funktionen ein und verwenden dazu den folgenden Satz u ur partielle Funktionen wurden auf ¨ber Integraloperatoren. Die Notationen f¨ S. 17 erkl¨ art. 1 Es seien (Ω, Σ, μ) ein σ -endlicher vollst¨ andiger Maßraum, 1 ≤ p ≤ ∞ und p1 + 1q = 1 . 2 F¨ ur einen messbaren Kern κ ∈ M(Ω ) gelte κy , κx ∈ L1 (Ω) f¨ ur fast alle y ∈ Ω und x ∈ Ω sowie κ SI := ess − sup y∈Ω κ ZI := ess − sup x∈Ω Ω | κ(x, y) | dμ(x) < ∞ und Ω | κ(x, y) | dμ(y) < ∞ . Dann wird durch S := Sκ : g → (Sg)(x) := Ω κ(x, y) g(y) dμ(y) , x ∈ Ω, ein beschr¨ ankter linearer Integraloperator auf Lp (Ω) definiert mit Sκ ≤ κ 1/ q ZI κ 1/ p SI .

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Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie: Distributionen - lokalkonvexe Methoden - Spektraltheorie by Winfried Kaballo


by Christopher
4.2

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