By Ernst Hairer, Gerhard Wanner, Andreas Lochmann

ISBN-10: 3642137660

ISBN-13: 9783642137662

Diese Einführung in die research orientiert sich in ihrem Aufbau an der zeitlichen Entwicklung der Themen. Die ersten zwei Kapitel schlagen den Bogen von historischen Berechnungsmethoden praktischer Problemen hin zu unendlichen Reihen, Differential- und Integralrechnung und zu Differentialgleichungen. Das Etablieren einer mathematisch stringenten Denkhaltung im 19. Jahrhundert für research ein und mehrerer Variablen wird in den Kapiteln III und IV behandelt. Viele Beispiele, Berechnungen und Bilder ergänzen das Buch und machen es zu einem Lesevergnügen für Studierende, Lehrer und Forscher. Aus den Besprechungen: the purpose of this attention-grabbing new contribution to the sequence Readings in arithmetic is an try to fix the old order within the presentation of easy mathematical analysis...such a old procedure gives you a really fruitful and engaging method of mathematical research. Jean Mawhin, Zentralblatt The authors contain numerous once-traditional matters that have now vanished from the research curriculum. ...The paintings is especially good illustrated. The publication is easily an research textual content, instead of a historical past, yet loads of trustworthy historic fabric is incorporated. For these looking a substitute for the conventional strategy, it kind of feels to me to be of significant curiosity. Thomas Archibald, Mathematical stories The authors...have assembled a powerful array of annotated effects, quotations, tables, charts, figures and drawings, many copied from unique documents....they write with nice enthusiasm and with glaring affection for either research and historical past. John Troutman, American Mathematical Monthly

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Trotz den Anstrengungen von Descartes und Fermat blieb dieses Problem f¨ur fast 50 Jahre ungel¨ost. Leibniz (1684, . . tentavit, sed non ” solvit“) schlug dann folgende L¨osung vor (siehe Abb. 5b): Sei (x, y) ein bereits gegebener Punkt auf der L¨osungskurve. Sodann erh¨ohe man x um einen kleinen ¨ Betrag b, so dass sich y (aufgrund der Ahnlichkeit zweier Dreiecke) um yb/a erh¨oht. Man wiederhole diesen Prozess, und erhalte eine Folge von Funktionswerten y, 1+ b y, a 1+ b a 2 y, 1+ b a 3 y, . .

12) approximiert die Fl¨ache S von oben (f¨ur a > −1). Wenn wir nun die H¨ohen der Rechtecke durch θa B a , θ2a B a , . . ersetzen, erhalten wir eine Approximation von S von unten. 12) schlicht mit θa multipliziert, was f¨ur θ → 1 gegen 1 strebt. Damit m¨ussen beide N¨aherungen gegen denselben Wert streben, wir erhalten das folgende Resultat. 2) Satz (Fermat 1636). Die Fl¨ache unter der Kurve y = xa zwischen den Schranken x = 0 und x = B ist gegeben durch S= B a+1 a+1 falls a > −1. h. der unendlichen Reihen) f¨ur einen einzigen Fall beinhaltet, n¨amlich die Quadratur der Hyperbel.

3) a−m = m . 2) auch f¨ur negative Exponenten. Wenn wir nun mehrfach a an 1 multiplizieren, wobei a eine positive Zahl sein muss, erhalten wir die geometrische Folge √ √ √ √ √ √ √ √ 1, a, a · a = a, a · a · a = a3 , a4 = a2 , . . 4) am/n = √ n am . veranlasst. 2) auch f¨ur rationale Exponenten g¨ultig. Wir ziehen dabei nur die positiven Wurzeln, so dass a5/2 zwischen a2 und a3 liegt. Der letzte Schritt (f¨ur die Menschheit) liegt in irrationalen Exponenten, die, wie Euler √ 7 uns versichert, schwerer zu verstehen“ sind.

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Analysis in historischer Entwicklung by Ernst Hairer, Gerhard Wanner, Andreas Lochmann


by Kenneth
4.4

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