By Herbert Amann, Joachim Escher

ISBN-10: 3764371056

ISBN-13: 9783764371050

Der zweite Band dieser Einf?hrung in die research behandelt die Integrationstheorie von Funktionen einer Variablen, die mehrdimensionale Differentialrechnung und die Theorie der Kurven und Kurvenintegrale. Der im ersten Band begonnene moderne und klare Aufbau wird konsequent fortgesetzt. Dadurch wird ein tragf?higes Fundament geschaffen, das es erlaubt, interessante Anwendungen zu behandeln, die zum Teil weit ?ber den in der ?blichen Lehrbuchliteratur behandelten Stoff hinausgehen.

Zahlreiche ?bungsaufgaben von unterschiedlichem Schwierigkeitsgrad und viele informative Abbildungen runden dieses Lehrbuch ab.

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5) β α n f dx − f (ξj )(αj − αj−1 ) j=1 ≤ β β (f − g) dx + α n g dx − α g(ξj )(αj − αj−1 ) j=1 n g(ξj ) − f (ξj ) (αj − αj−1 ) < ε , + j=1 womit die Behauptung bewiesen ist. 5 Bemerkungen (a) Die Funktion f : I → E heißt Riemann integrierbar, wenn ein e ∈ E existiert mit folgender Eigenschaft: Zu jedem ε > 0 gibt es ein δ > 0, so daß n e− f (ξj )(αj − αj−1 ) < ε j=1 f¨ ur jede Zerlegung Z := (α0 , . . , αn ) von I mit Zwischenpunkte ξj ∈ [αj−1 , αj ] gilt. Z < δ und f¨ ur jede Wahl der Dann ist e eindeutig bestimmt, heißt Riemannsches Integral von f u ¨ ber I und β wird wieder mit α f dx bezeichnet.

Dann gilt Z 0 c ∞ X xk−1 cnm+k = . ) ‹√ 9 In Aufgabe 8 w¨ ahle man c = 1 2, m = 8 sowie k = 1, 4, 5, 6 und schließe mit Aufgabe 7 auf folgende Reihendarstellung von π: (Hinweis: n=0 π= 10 ∞ X 2 1 1 ” 1 “ 4 − − − . 16n 8n + 1 8n + 4 8n + 5 8n + 6 n=0 F¨ ur die Integrale Z Z (i) In = xn ex dx , (ii) In = cosn x dx , (iv) In = Z Z (iii) In = sind Rekursionsformeln herzuleiten. 12. 6 Summen und Integrale 51 6 Summen und Integrale Es seien m, n ∈ Z mit m < n, und f : [m, n] → E sei stetig. 1) m aufgefaßt werden.

Dann ist F in a differenzierbar mit F (a) = f (a). Beweis F¨ ur h ∈ R× mit a + h ∈ I gilt 1 F (a + h) − F (a) = h h Beachten wir hf (a) = a+h a a+h a f (ξ) dξ − α f (ξ) dξ = α 1 h a+h f (ξ) dξ . a f (a) dξ, so folgt 1 F (a + h) − F (a) − f (a)h = h h a+h f (ξ) − f (a) dξ . a Da f in a stetig ist, gibt es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 mit ξ ∈ I ∩ (a − δ, a + δ) . 3 f¨ ur alle h mit 0 < |h| < δ und a + h ∈ I die Absch¨atzung F (a + h) − F (a) − f (a)h h E ≤ 1 |h| a+h a f (ξ) − f (a) E dξ < ε . Also ist F in a differenzierbar mit F (a) = f (a).

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Analysis 2 by Herbert Amann, Joachim Escher


by Anthony
4.5

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